正法寺数学

数学のひろば

正１２面体と正２０面体のおもしろ性質（写真は少しひずんでいますが）

エクセルでπを計算で求める

高校までの数学で、エクセルを使ってπを計算してみましょう。πの計算と言えば、科学技術計算だから、フリーソフトの十進Basicで求めるのが普通。エクセルなんてと思うでしょうが、エクセルもよい面があります。繰り返し計算の速度が速いということです。例えば、割り算を１０００万回行うというような計算では、十進Basicの３０倍以上速いです。乱数を１００億個発生させるというような計算はエクセルなら実用的に計算できます。（エクセルなら１時間程度か。Basicなら２４時間では無理でしょう。）マクロは使いますが、エクセルファイルにマクロは入っていません。HPからテキストをコピーして下さい。

ここでは級数を用いる方法、正多角形を用いる方法、乱数を用いる方法、定積分を用いる方法、の４つの方法で計算を行います。

高校生向けの数学の問題と解答

高校数学課題研究の参考

数学の課題研究の参考として１．正多面体の議論と２．最短スタイナー問題をあげています

正２０面体と正１２面体の座標と辺を表すベクトルの一致

正２０面体と正１２面体の座標を初等的な方法で求めて（詳しい解説付き）、次の命題を示し、
さらに、正２０面体、正１２面体の、それぞれの辺と辺のなす角を求めてみます。

命題「正１２面体の辺を平行移動して正２０面体を作ることができる」

上のことは、いい換えると「正１２面体と正２０面体のすべての辺を表すベクトルを
一致するようにできる」ということです。ここで正１２面体と正２０面体が双対であるこ
とは理由にはなりません。正６面体と正８面体は双対ですが、正６面体の辺をどのように
平行移動しても正８面体を作ることはできません。

正４面体と正８面体の座標

正４面体と正８面体については知っている人も多いですが、参考までに述べておきます。

スタイナー(最短)問題

スタイナー問題正多角形

スタイナー（最短）問題とは平面上に点を与えたときそれらすべてを線分で結ぶとき、その結び方
あるいはその線分の長さの和を求める問題ですが、最も簡単な場合として手始めに正多角形の
各直点に点をとる場合について考えてみます。

写真は２枚ともステンレス板の上にリベットの支柱の上にアクリル板を載せ間に石けん液を
入れ大きいシャボン玉を中に作ってやります。表面張力によって表面積が極小になったら安定します。
板の間隔が狭いので真上から見ると表面積が極小ということはリベットを結ぶ線分の長さが極小と
なります。そのときの線分のなす角は１２０°です。この角をスタイナー角といいます。

スタイナー問題正多角形PDF

無限個のスタイナー問題（別ページ）

スタイナー問題非常に多くの点が等間隔であるときの考察と予想

平面上の極めて広い部分の格子点に点をとったときそれらをすべて結ぶ線分の和がどう与えられるか、

平面上の極めて広い部分を正三角形で埋め尽くして、三角形の頂点に点をとるとき、すべてを結ぶ線分の和

上の場合で正六角形にかえたらどうなるか

予想：ｎ個の点が平面上の十分広い領域の面積ｎの部分にあるとき、ｎ個の点を結ぶ線分の和は
ｎより小さくなる。ただし、ｎは十分大きいとする。（無限個の点のスタイナー問題の１つの予想）

スタイナー問題無限個の点の場合その１PDF

平面上で等間隔に無数の平行線が引かれたものが２つあり、その交点に点をとるときそれらをを
結ぶ線分の長さの総和を考える。

スタイナー問題無限個の点の場合その２PDF

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